群论1

1. 群论1

定义1 我们说$(S,*)$是一个幺半群，当该二元运算满足结合律，且具有单位元。此即

$$\forall x,y,z \in S, (x * y) * z = x * (y * z) \\ \exist e \in S, \forall x \in S, e * x = x *e$$

如果该二元运算满足结合律且不考虑单位元，则称为半群。

根据上述的定义容易知道$(N,+),(Z,+),(Q,+),(R,+),(C,+)$等是幺半群。

定义2 我们说$(S,*)$是一个交换幺半群，当其是一个幺半群，且定义在该群上的二元运算满足交换律，即

$$\forall x,y \in S, x * y = y * x$$

刚才我们举的例子都是交换幺半群，那么是否存在非交换幺半群呢？显然线性代数中的矩阵乘法是非交换的，那么容易知道$n\times n$的是实矩阵对乘法构成非交换的幺半群。

命题1 幺半群的单位元存在且唯一。

证明：根据幺半群的定义可得它存在单位元，假设$e,e'$是$(S,\cdot)$的单位元，对于乘积$e\cdot e'$，一方面由于$e$是单位元，所以它等于$e'$，另一方面由于$e'$也是单位元，所以它等于$e$，即

$$e = e \cdot e' = e'$$

因此幺半群中的单位元是唯一的。

定义3 令$x_1,x_2,\cdots,x_n \in S$，我们递归地定义

$$x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot \cdots x_n=(x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot \cdots x_{n-1})\cdot x_n$$

令$x \in S, n \in N$。若$n \gt 0$，我们定义$x^n=x\cdots x$，而$x^0=e$。

命题2（广义结合律） 令$x_1,x_2,\cdots,x_n,y_1,y_2,\cdots,y_m \in S$，则

$$x_1 \cdot x_2\cdot \cdots x_n\cdot y_1\cdot y_2\cdot\cdots y_m = (x_1\cdot x_2\cdot\cdots x_n)(y_1\cdot y_2\cdot\cdots y_m)$$

证明： $\forall n \in N$，对$m$做数学归纳。若$m=1$，那么有

$$x_1 \cdot x_2\cdot \cdots x_n\cdot y_1 = (x_1\cdot x_2\cdot\cdots x_n)y_1$$

由定义3，该式显然成立。接下来，设$m=k$时命题成立，即

$$x_1 \cdot x_2\cdot \cdots x_n\cdot y_1\cdot y_2\cdot\cdots y_k = (x_1\cdot x_2\cdot\cdots x_n)(y_1\cdot y_2\cdot\cdots y_k)$$

那么当$m=k+1$时，有

$$\begin{align} x_1 \cdot x_2\cdot \cdots x_n\cdot y_1\cdot y_2 \cdot\cdots y_{k + 1} &= ((x_1\cdot x_2\cdot \cdots x_n)(y_1\cdot y_2\cdot\cdots y_k))\cdot y_{k+1} \\ &= (x_1\cdot x_2\cdot \cdots x_n)((y_1\cdot y_2\cdot\cdots y_k)\cdot y_{k+1}) \\ &=(x_1\cdot x_2\cdot \cdots x_n)(y_1\cdot y_2\cdot\cdots y_k \cdot y_{k+1}) \end{align}$$

有了广义结合律，只要 𝑥1, · · · , 𝑥𝑛 的顺序是固定的，无论怎么添加括号，我们都可以利用命题 2 的结论，将括号重排至从前往后依次乘的顺序而保持结果不变。由于没有用到单位元的条件。因此，只要一个集合上的二元运算满足结合律，就自动满足广义结合律。所以，如果一个集合上的二元运算有结合律，我们就可以在连续元素的乘积中不加括号，也可以按照我们的需要随意加括号。

根据广义结合律，我们可以得到如下推论。

命题3 令$x\in S, m,n\in N_+$，则

$$x^{m+n}=x^m\cdot x^n$$

证明：根据定义3和广义结合律，有

$$\begin{align} x^{m+n}&=\underbrace{x\cdots x}_{m}\underbrace{x\cdots x}_{n} \quad \text{(定义3)}\\ &=(\underbrace{x\cdots x}_{m})(\underbrace{x\cdots x}_{n}) \quad \text{(广义结合律)} \\ &=x^m \cdot x^n \quad \text{(定义3)} \end{align}$$

定义4 令$(S,\cdot)$是一个幺半群，若$T \sub S$，我们说$(T,\cdot)$是$(S,\cdot)$的一个子幺半群，若$e \in T$，且$T$在定义在$S$的运算下封闭，即

$$\begin{align} e \in T \\ \forall x, y \in T, x \cdot y \in T \end{align}$$

命题4 一个幺半群的任意一个子幺半群是幺半群。

证明：设幺半群$(S,\cdot)$的一个子幺半群为$(T,\cdot)$，由于$T$在$\cdot$运算下封闭，所以

$$T\times T\to T$$

满足二元运算的封闭性。

此外，由于$T\sub S$，那么由于$S$中的元素对于该运算都满足结合律，所以$T$中元素对该运算也满足结合律。

由于$e \in T$且$e$是$(S,\cdot)$的单位元，那么$e$也必定是$(T,\cdot)$的单位元。

因此封闭性、结合律、单位元条件满足，$(T,\cdot)$是幺半群。

定义5（幺半群同态） 假设$(S,\cdot)$和$(T,*)$是两个幺半群，且$f:S\to T$是一个映射，我们称$f$是一个幺半群同态，当$f$保持乘法运算，且把单位元映射到单位元。即

$$\begin{align} \forall x,y \in S, f(x\cdot y) = f(x)*f(y) \\ f(e) = e' \end{align}$$

其中$e$和$e'$分别是$(S,\cdot)$和$(T,*)$的单位元。

下面是一个典型的幺半群同态。设$(S,\cdot)$是一个幺半群，令$x\in S$。我们定义$f:(N,+) \to S(n,\cdot)$，使得$f(n) = x^n$。首先，由于$f(0) = e$，所以满足将单位元映射到单位元。其次，$f(m+n)=x^{m+n}=x^m\cdot x^n=f(m)\cdot f(n)$。因此$f$是一个幺半群同态。

定义6 假设$(S,\cdot)$是一个幺半群，存在集合$A\sub S$。我们定义由$A$生成的子幺半群，记作$<A>$，是指$S$中所有包含了$A$的子幺半群的交集。即

$$<A>=\cap\{T\sub S:T\supset A, T\text{是子幺半群} \}$$

这个子幺半群有一个很好的性质，即命题5。

命题5 假设$(S,\cdot)$是一个幺半群，存在集合$A\sub S$，则$<A>$也是一个子幺半群。因此，$<A>$是包含A的最小子幺半群。

证明：要证明$<A>$是一个子幺半群，即证明：

1. $\forall x,y \in <A>, x\cdot y\in <A>$
2. $e \in <A>$

对于命题1，任取一个包含$A$的子幺半群$(T,\cdot)$，由于$\forall x,y \in <A>, x,y\in T$，而$T$对$\cdot$运算封闭，所以$x\cdot y \in T$。那么由于$x\cdot y$存在于所有这样的$T$中，因此$x\cdot y \in <A>$。

对于命题2，同样任取一个包含$A$的子幺半群$(T,\cdot)$，有$e\in T$。由于$e$存在于所有这样的$T$中，因此$e\in <A>$。

所以$<A>$是一个子幺半群。由于$<A>$是所有包含$A$的子幺半群的交集，因此不可能存在一个比$<A>$更小的子幺半群，所以$<A>$是包含$A$的最小子幺半群。

定义7（幺半群同构） 假设$(S,\cdot)$和$(T,*)$是两个子幺半群，且$f:S\to T$是一个映射，我们称$f$是一个幺半群同构，当$f$是一个双射，且是一个同态。即

$$\begin{align} f \text{是双射} \\ \forall x,y \in S, f(x\cdot y) = f(x) * f(y) \\ f(e) = e' \end{align}$$

其中$e$和$e'$分别是$(S,\cdot)$和$(T,*)$的单位元。

命题6 幺半群同构具有对称性。

证明：需证明若$f:(S,\cdot)\to (T,*)$是一个幺半群同构，那么$f^{-1}$也是一个幺半群同构。

由于$f$是一个双射，因此$f^{-1}$也是一个双射。只需证明$f^{-1}$是一个幺半群同态。

令$x,y\in S, x',y'\in T$，设$f(x) = x',f(y)=y'$, 则$x=f^{-1}(x')$，$y=f^{-1}(y')$。那么有

$$\begin{align} f(x\cdot y) &= f(x) * f(y) = x' * y'\\ f^{-1}(x'*y') &= x \cdot y = f^{-1}(x')\cdot f^{-1}(y') \\ \end{align}$$

又$\because f(e)=e',\therefore f^{-1}(e')=e$。

因此$f^{-1}$是一个幺半群同构，幺半群同构满足对称性。

命题7 幺半群同构具有传递性。

假设$(S,\cdot)$，$(T,*)$和$(R,\times)$是三个幺半群，$f:(S,\cdot)\to (T,*)$是一个幺半群同构，$g:(T,*)\to (R,\times)$是一个幺半群同构，那么$g\circ f$是一个幺半群同构。

证明：令$s_1,s_2 \in S$，那么有

$$f(s_1 \cdot s_2) = f(s_1) * f(s_2)$$

设$t_1 = f(s_1), t_2=f(s_2)$，那么有

$$\begin{align} g(t_1*t_2)&=g(t_1)\times g(t_2) \\ g(f(s_1\cdot s_2)) &= g(f(s_1)) \times g(f(s_2))\\ g\circ f(s_1\cdot s_2) &= g\circ f (s_1) \times g\circ f(s_2) \end{align}$$

此外，由于$f(e_s) = e_t, g(e_t) = e_r$，所以$g\circ f(e_s)=e_r$。因此$g\circ f$是一个幺半群同构，幺半群同构具有传递性。

由于一个幺半群必定同构于自己，同构具有自反性。因此幺半群的同构是一个等价关系。