群论2

1. 群论2

在群论1中，我们讨论了幺半群及其基本性质。在数学与众多自然科学中，我们常常面临“可逆”的操作，比如数的加法与乘法、矩阵的乘法、对称变换等。这种“存在逆元”的性质，正是“群”这一代数结构的核心特征。现在我们准备将幺半群推广到群。

在幺半群中，我们已经具备了“单位元”这一特殊元素。现在，让我们定义可逆性——它是群概念的基石。

定义8(可逆元素和逆元) 令$(S,\cdot)$是一个幺半群，$x\in S$。我们称$x$是可逆的，当且仅当

$$\exist y\in S, x\cdot y = y\cdot x = e$$

其中$y$被称为$x$的逆元，记作$x^{-1}$。

对于单位元$e$，它一定是可逆的，因为$e \cdot e = e$。

现在自然就有一个问题，这样的逆元是否唯一，就像在群论1中探讨过的单位元是否唯一一样。

命题 7（逆元的唯一性） 若$(S,\cdot)$是一个幺半群。假设$x\in S$是可逆的，那么其逆元唯一。

证明： 假设$x\in S$的逆元是$y$和$y'$。那么有

$$y = e\cdot y = y'\cdot x\cdot y=y'\cdot e = y'$$

因此$x$的逆元唯一。

有了可逆元素的概念，我们可以给出“群”的正式定义——它是一个所有元素都可逆的幺半群。

定义9 令$(G,\cdot)$是一个幺半群，我们说它是一个群，当$G$中所有元素都是可逆的。

$$\begin{align} \forall x,y,z \in G, x\cdot(y\cdot z) = (x\cdot y)\cdot z \\ \exist e \in G, \forall x\in G, x\cdot e = e\cdot x = x \\ \forall x\in G, \exist y\in G, x\cdot y = y\cdot x = e \end{align}$$

换句话说，群是一个所有元素都具备“对称性”的幺半群。这种对称性使得群在数学、物理、化学、计算机科学等诸多领域中普遍存在，成为描述“对称变换”、“可逆操作”与“守恒量”的标准语言。

群的几个简单但关键的性质如下：

命题8（逆元的逆元） 若$(G,\cdot)$是一个群，令$x\in G$，则$(x^{-1})^{-1}=x$。

证明：设$y = x^{-1}$，原命题转换为证明$y^{-1}=x$。

由于$x\cdot y = y\cdot x = e$，则对于$y$来说，$x$就是它的逆元，因此$y^{-1}=x$，原命题得证。

命题9（乘积的逆元） 若$(G,\cdot)$是一个群，令$x,y\in G$，则$(x\cdot y)^{-1} = y^{-1}\cdot x^{-1}$。

**证明：**根据广义结合律有

$$(x\cdot y)\cdot (y^{-1}\cdot x^{-1}) = x\cdot y\cdot y^{-1}\cdot x^{-1} = x\cdot e \cdot x^{-1} = x\cdot x^{-1} = e$$

同样我们可以定义交换群，也称阿贝尔群（由于阿贝尔对交换群的贡献）。

定义10（阿贝尔群） 若$(G,\cdot)$是一个群，我们称它为阿贝尔群，当该运算满足交换律，即

$$\forall x,y \in G, x\cdot y = y\cdot x$$

最基础的群是平凡群，它只有一个元素，可以记作$(\{e\},\cdot)$。它是最小的群，且必然是阿贝尔群。

在一般幺半群中，我们可以提取出其所有可逆元素，它们自然构成一个群。

引理1 若$(S,\cdot)$是一个幺半群，令$G$是其所有可逆元素构成的子集，则$(G,\cdot)$是一个群。

证明： 问题分解为：

1. $(G,\cdot)$的二元运算封闭
2. $(G,\cdot)$满足结合律
3. $(G,\cdot)$存在单位元
4. $(G,\cdot)$中每个元素存在逆元

对于问题1，要证明$\forall x,y \in G, x\cdot y\in G$。由于$(x\cdot y)^{-1} = y^{-1}\cdot x^{-1}$，所以$x\cdot y \in G$。

对于问题2，由于$(S,\cdot)$满足结合律，那么$(G,\cdot)$自动满足结合律。

对于问题3，由于$e\cdot e = e$，所以$e\in G$。

对于问题4，$\forall x\in G, \exist y\in S, x\cdot y = y\cdot x = e$，上式也可解释为$x$是$y$的逆元，因此$y\in G$。所以$\forall x\in G, \exist y\in G, x\cdot y = y\cdot x = e$。

定义11 对于$n * n$可逆实矩阵构成的乘法群，称为（实数上的）$n$阶一般线性群，记作$(\textit{GL}(n,R),\cdot)$。由于一个矩阵可逆当且仅当其行列式不为零，因此

$$\textit{GL}(n,R) = \{A\in M(n,R) : \operatorname{det}(A)\neq0\}$$

注意，这的确是个群，因为本身 𝑛 ∗ 𝑛 实矩阵对乘法构成幺半群（单位元是单位矩阵），接下来我们取所有可逆元素，就得到了一般线性群。当然，我们也有复数上的，有理数上的，等更多的一般线性群。