抽象代数 · 2026.06.17

陪集和拉格朗日定理

陪集的作用，是把一个群按照某个子群切成许多等大的块。拉格朗日定理正是这个“等大分块”思想的直接结果。

子群的阶

设 \(H\) 是群 \(G\) 的子群。\(H\) 的阶记作 \(|H|\)，定义为集合 \(H\) 的大小。如果 \(H\) 是无限集，则记 \(|H|=\infty\)。

我们最终要证明：若 \(G\) 是有限群，且 \(H<G\)，那么

\[ |H|\mid |G|. \]

这个结论称为拉格朗日定理。为了证明它，需要先理解陪集。

左陪集

设 \(G\) 是一个群，\(H<G\)，且 \(a\in G\)。定义

\[ aH=\{ah:h\in H\}. \]

这个集合称为 \(H\) 关于元素 \(a\) 的左陪集。直观上，\(aH\) 是把 \(H\) 中每个元素都左乘 \(a\) 后得到的新集合。

需要注意：\(aH\) 一般不是子群。比如它未必包含单位元。只有当 \(a\in H\) 时，\(aH=H\)，此时它才是原来的子群。

左乘给出双射

引理：设 \(G\) 是群，\(H<G\)，\(a\in G\)。定义映射

\[ f:H\to aH,\qquad f(x)=ax. \]

则 \(f\) 是双射。因此 \(|H|=|aH|\)。

证明：先证明 \(f\) 是单射。若 \(f(x_1)=f(x_2)\)，则

\[ ax_1=ax_2. \]

两边左乘 \(a^{-1}\)，得到 \(x_1=x_2\)。所以 \(f\) 是单射。

再证明 \(f\) 是满射。任取 \(y\in aH\)，按照 \(aH\) 的定义，存在 \(x\in H\)，使得 \(y=ax\)。于是 \(y=f(x)\)。所以 \(f\) 是满射。

因此 \(f\) 是双射，\(H\) 与 \(aH\) 有相同的元素个数。

左陪集要么相等，要么不相交

命题：设 \(G\) 是群，\(H<G\)，\(a,b\in G\)。则

\[ aH=bH\quad\text{或者}\quad aH\cap bH=\varnothing. \]

换句话说，任意两个左陪集没有“部分重叠”这种情况：只要它们碰到一起，就完全相等。

证明：只需证明若 \(aH\cap bH\ne\varnothing\)，则 \(aH=bH\)。

假设 \(aH\cap bH\ne\varnothing\)。取一个公共元素 \(z\in aH\cap bH\)。由于 \(z\in aH\)，存在 \(h_1\in H\)，使得 \(z=ah_1\)；由于 \(z\in bH\)，存在 \(h_2\in H\)，使得 \(z=bh_2\)。于是

\[ ah_1=bh_2. \]

任取 \(ah\in aH\)，其中 \(h\in H\)。由 \(ah_1=bh_2\) 可得 \(a=bh_2h_1^{-1}\)。因此

\[ ah=bh_2h_1^{-1}h. \]

因为 \(H\) 是子群，\(h_2,h_1^{-1},h\in H\)，所以 \(h_2h_1^{-1}h\in H\)。从而 \(ah\in bH\)。这说明 \(aH\subset bH\)。

同理，交换 \(a\) 与 \(b\) 的角色，可得 \(bH\subset aH\)。于是 \(aH=bH\)。

所以，所有左陪集构成了 \(G\) 的一个分拆：每个元素属于某个左陪集，并且不同陪集互不相交。

商集与指数

设 \(G\) 是有限群，\(H<G\)。所有左陪集组成的集合记作

\[ G/H=\{aH:a\in G\}. \]

这里的 \(G/H\) 只是左陪集的集合；如果 \(H\) 不是正规子群，还不能自然地把它看成一个群。

我们把左陪集的个数称为 \(H\) 在 \(G\) 中的指数，记作

\[ [G:H]=|G/H|. \]

拉格朗日定理

定理：设 \(G\) 是有限群，\(H<G\)。则

\[ |G|=[G:H]|H|. \]

特别地，\(|H|\mid |G|\)。

证明：由前面的结论，所有左陪集构成 \(G\) 的一个分拆。也就是说，\(G\) 可以写成若干个两两不交的左陪集的并：

\[ G=a_1H\sqcup a_2H\sqcup\cdots\sqcup a_rH, \]

其中 \(r=[G:H]\)，符号 \(\sqcup\) 表示不交并。

又由“左乘给出双射”的引理，每个左陪集都与 \(H\) 等势，因此

\[ |a_iH|=|H|,\qquad i=1,\ldots,r. \]

因为这些陪集两两不交，所以可以直接相加计数：

\[ |G|=|a_1H|+\cdots+|a_rH|=r|H|=[G:H]|H|. \]

因此 \(|G|\) 是 \(|H|\) 的整数倍，得到 \(|H|\mid |G|\)。

这个定理的直观含义是：有限群 \(G\) 被子群 \(H\) 的陪集切成了若干个大小完全相同的块，每一块的大小都是 \(|H|\)。

陪集相等的判别

引理：设 \(G\) 是群，\(H<G\)，\(x\in G\)。则

\[ xH=H\iff x\in H. \]

证明：若 \(xH=H\)，由于 \(e\in H\)，所以 \(xe=x\in xH=H\)，故 \(x\in H\)。

反过来，若 \(x\in H\)，先证 \(xH\subset H\)。任取 \(xh\in xH\)，其中 \(h\in H\)。因为 \(x,h\in H\)，且 \(H\) 对运算封闭，所以 \(xh\in H\)。

再证 \(H\subset xH\)。任取 \(h\in H\)。因为 \(x\in H\)，所以 \(x^{-1}\in H\)，从而 \(x^{-1}h\in H\)。于是

\[ h=x(x^{-1}h)\in xH. \]

所以 \(H\subset xH\)。两边合起来得到 \(xH=H\)。

更一般地，对 \(x,y\in G\)，有

\[ xH=yH\iff y^{-1}x\in H. \]

证明：注意到左乘 \(y^{-1}\) 会把 \(yH\) 变成 \(H\)，并把 \(xH\) 变成 \(y^{-1}xH\)。因此

\[ xH=yH \iff y^{-1}xH=H \iff y^{-1}x\in H. \]

最后一步正是刚刚证明的特殊情形。

指数的乘法公式

命题：若 \(K<H<G\) 是三个有限群，则

\[ [G:K]=[G:H][H:K]. \]

证明：由拉格朗日定理，分别对 \(K<G\)、\(H<G\)、\(K<H\) 使用公式，得到

\[ |G|=[G:K]|K|, \]

\[ |G|=[G:H]|H|, \]

\[ |H|=[H:K]|K|. \]

把第三个等式代入第二个等式：

\[ |G|=[G:H][H:K]|K|. \]

又因为 \(|G|=[G:K]|K|\)，且 \(|K|>0\)，两边同时除以 \(|K|\)，得到

\[ [G:K]=[G:H][H:K]. \]

两个有限子群乘积集合的大小

命题：设 \(G\) 是群，\(H,K<G\) 是两个有限子群。定义

\[ HK=\{hk:h\in H,\ k\in K\}. \]

则

\[ |HK|=\frac{|H||K|}{|H\cap K|}. \]

这里 \(HK\) 一般只是 \(G\) 的一个子集，不一定是子群；公式只是在计算这个集合的大小。

证明：考虑映射

\[ \varphi:H\times K\to HK,\qquad \varphi(h,k)=hk. \]

按照 \(HK\) 的定义，\(\varphi\) 是满射。我们要计算每个 \(HK\) 中元素有多少个原像。

固定 \(g\in HK\)，取一组表示 \(g=h_0k_0\)，其中 \(h_0\in H\)、\(k_0\in K\)。我们说明所有满足 \(hk=g\) 的有序对 \((h,k)\) 恰好由 \(H\cap K\) 参数化。

若 \(s\in H\cap K\)，则

\[ h_0s\in H,\qquad s^{-1}k_0\in K, \]

并且

\[ (h_0s)(s^{-1}k_0)=h_0k_0=g. \]

因此每个 \(s\in H\cap K\) 都给出一个原像 \((h_0s,s^{-1}k_0)\)。

反过来，若 \((h,k)\in H\times K\) 且 \(hk=g=h_0k_0\)，则

\[ h_0^{-1}h=k_0k^{-1}. \]

左边属于 \(H\)，右边属于 \(K\)，所以这个共同元素属于 \(H\cap K\)。令

\[ s=h_0^{-1}h\in H\cap K, \]

则 \(h=h_0s\)。同时由 \(hk=h_0k_0\) 可得 \(k=s^{-1}k_0\)。因此 \((h,k)\) 必然来自某个 \(s\in H\cap K\)。

这说明每个 \(g\in HK\) 在映射 \(\varphi\) 下恰好有 \(|H\cap K|\) 个原像。另一方面，定义域 \(H\times K\) 的大小是 \(|H||K|\)。于是

\[ |H||K|=|HK|\cdot |H\cap K|. \]

整理得到

\[ |HK|=\frac{|H||K|}{|H\cap K|}. \]