抽象代数 · 2026.06.16

有限群、元素的阶与循环群

有限群把抽象的群结构限制在有限集合中。这个限制带来一个重要后果：群中每个元素不断自乘，最终一定会回到单位元。

有限群与元素的阶

设 \((G,\cdot)\) 是一个群。若底层集合 \(G\) 是有限集，则称 \((G,\cdot)\) 是有限群。

对任意 \(x\in G\)，定义 \(x\) 在 \(G\) 中的阶，记作 \(|x|\)，为最小的正整数 \(n\)，使得

\[ x^n=e. \]

如果不存在这样的正整数，就记 \(|x|=\infty\)。这里 \(e\) 是群的单位元。

有限群中元素的阶一定有限

命题：若 \((G,\cdot)\) 是有限群，则每个元素的阶都是有限的。

证明可以从反面理解。假设存在 \(x\in G\)，使得 \(|x|=\infty\)。于是

\[ x,x^2,x^3,\ldots \]

都属于 \(G\)。如果其中存在两个幂相等，设 \(m>n\) 且 \(x^m=x^n\)，则两边右乘 \(x^{-n}\)，得到

\[ x^{m-n}=e. \]

这说明 \(x\) 的阶其实是有限的，与 \(|x|=\infty\) 矛盾。因此这些幂两两不同，\(G\) 至少包含无穷多个元素，也与 \(G\) 有限矛盾。故有限群中每个元素的阶都有限。

直观地说，有限群里空间有限，而 \(x,x^2,x^3,\ldots\) 又一直在群里走；只要走回曾经到过的位置，就会产生一个正幂等于单位元。

由一个元素生成的子群

固定 \(x\in G\)。定义映射

\[ f:(\mathbb{Z},+)\to(G,\cdot),\qquad f(n)=x^n. \]

这是一个群同态，因为

\[ f(m+n)=x^{m+n}=x^m\cdot x^n=f(m)\cdot f(n). \]

它的像是所有 \(x\) 的整数次幂构成的集合：

\[ \langle x\rangle=\{x^n:n\in\mathbb{Z}\}. \]

由于群同态的像是子群，所以 \(\langle x\rangle\) 是 \(G\) 的子群。这个子群称为由 \(x\) 生成的子群。

例如，在 \((\mathbb{Z},+)\) 中，由 \(3\) 生成的子群是

\[ \langle 3\rangle=\{3n:n\in\mathbb{Z}\}, \]

也就是所有 \(3\) 的整数倍。这里加法群中的“幂”对应反复相加。

由集合生成的子群

更一般地，若 \(S\subset G\)，可以定义由 \(S\) 生成的子群为

\[ \langle S\rangle=\bigcap\{H\subset G:S\subset H,\ H<G\}. \]

这一定义的含义是：把所有包含 \(S\) 的子群取交集，得到的就是“必须包含 \(S\)”这个要求下最小的子群。

为什么它仍然是子群？因为任意包含 \(S\) 的子群都包含单位元，所以交集也包含单位元；若 \(x,y\) 在交集中，那么它们属于每一个这样的子群，于是 \(x\cdot y\) 和 \(x^{-1}\) 也属于每一个这样的子群，因而仍在交集中。

当 \(S=\{x\}\) 时，\(\langle S\rangle\) 与前面的 \(\langle x\rangle\) 相同。因此 \(\langle x\rangle\) 可以理解为包含 \(x\) 的最小子群。

循环群

若存在某个 \(x\in G\)，使得

\[ G=\langle x\rangle, \]

则称 \(G\) 是一个循环群，\(x\) 称为它的生成元。

循环群的核心思想是：整个群都可以由一个元素反复运算得到。有限循环群像一个闭合的环，元素依次为

\[ e,\ x,\ x^2,\ldots,x^{n-1}, \]

并在 \(x^n=e\) 时回到起点。无限循环群则与整数加法群 \((\mathbb{Z},+)\) 在结构上相同。

这种“由一个元素控制全局结构”的性质，使循环群成为理解一般群的基本模型。

有限循环群的同构类型

循环群的一个重要特点是：阶数已经决定了它的结构。更准确地说，对任意正整数 \(n\)，所有 \(n\) 阶循环群都彼此同构。

设 \(G_1=\langle x\rangle\)、\(G_2=\langle y\rangle\)，并且二者都是 \(n\) 阶循环群。定义映射

\[ f(x^m)=y^m. \]

这个定义是良好的：在 \(G_1\) 中 \(x^a=x^b\) 当且仅当 \(n\mid(a-b)\)，而在 \(G_2\) 中同样有 \(y^a=y^b\) 当且仅当 \(n\mid(a-b)\)。因此同一个元素不会被映到两个不同的值。

同时，

\[ f(x^a\cdot x^b)=f(x^{a+b})=y^{a+b}=y^a\cdot y^b=f(x^a)\cdot f(x^b), \]

所以 \(f\) 是群同态。它显然也是双射，因此是群同构。

于是我们可以把所有 \(n\) 阶循环群归为同一个同构类，通常记作 \(C_n\)。在这种意义下，\(C_n\) 不是某一个具体集合，而是一类“结构完全相同”的循环群。

循环群一定是阿贝尔群

有限循环群是阿贝尔群。事实上，不只是有限循环群，任意循环群都是阿贝尔群。

若 \(G=\langle x\rangle\)，则任取 \(a,b\in G\)，都存在整数 \(m,n\)，使得

\[ a=x^m,\qquad b=x^n. \]

于是

\[ ab=x^m x^n=x^{m+n}=x^{n+m}=x^n x^m=ba. \]

因此 \(G\) 中任意两个元素可交换，\(G\) 是阿贝尔群。这个结论也说明：如果一个群不是阿贝尔群，那么它一定不可能是循环群。

无限循环群

若 \(G=\langle x\rangle\) 是无限循环群，则所有幂

\[ \ldots,x^{-2},x^{-1},e,x,x^2,\ldots \]

两两不同。否则若 \(x^m=x^n\) 且 \(m\ne n\)，就会推出 \(x^{m-n}=e\)，从而 \(x\) 的阶有限，\(G\) 也会是有限循环群，这与无限性矛盾。

无限循环群只有两个生成元：\(x\) 与 \(x^{-1}\)。显然，\(\langle x\rangle=\langle x^{-1}\rangle\)。反过来，若 \(x^k\) 是生成元，则必须存在整数 \(r\)，使得

\[ (x^k)^r=x. \]

也就是 \(x^{kr}=x^1\)。由于无限循环群中幂表示唯一，得到 \(kr=1\)，所以 \(k=1\) 或 \(k=-1\)。因此生成元只有 \(x\) 和 \(x^{-1}\)。

所有无限循环群也彼此同构。若 \(G=\langle x\rangle\)、\(H=\langle y\rangle\)，定义 \(f(x^m)=y^m\)，同样可以证明它是一个双射群同态。因此无限循环群的结构本质上就是整数加法群 \((\mathbb{Z},+)\)。

有限循环群中元素的阶

设 \(G=\langle x\rangle\) 是 \(n\) 阶有限循环群。对 \(1\le m\le n\)，元素 \(x^m\) 的阶为

\[ |x^m|=\frac{n}{\gcd(n,m)}. \]

证明的关键是把“元素的阶”转化为整除问题。我们要找到最小正整数 \(k\)，使得

\[ (x^m)^k=x^{mk}=e. \]

因为 \(x\) 的阶是 \(n\)，上式等价于

\[ n\mid mk. \]

令 \(d=\gcd(n,m)\)，则 \(n=dn'\)、\(m=dm'\)，且 \(\gcd(n',m')=1\)。条件 \(n\mid mk\) 等价于

\[ dn'\mid dm'k, \]

即 \(n'\mid m'k\)。由于 \(n'\) 与 \(m'\) 互素，必有 \(n'\mid k\)。所以最小正整数 \(k\) 正是

\[ k=n'=\frac{n}{\gcd(n,m)}. \]

有限循环群的生成元个数

继续设 \(G=\langle x\rangle\) 是 \(n\) 阶有限循环群。元素 \(x^m\) 是 \(G\) 的生成元，当且仅当

\[ \gcd(m,n)=1. \]

这是上一节公式的直接推论。因为 \(x^m\) 能生成整个 \(G\)，等价于 \(x^m\) 的阶也是 \(n\)。而

\[ |x^m|=\frac{n}{\gcd(n,m)}=n \]

当且仅当 \(\gcd(n,m)=1\)。

因此，\(n\) 阶循环群的生成元个数，等于 \(1\le m\le n\) 中与 \(n\) 互素的整数个数，也就是欧拉函数

\[ \varphi(n). \]

例如 \(C_8=\langle x\rangle\) 中，\(x,x^3,x^5,x^7\) 都是生成元，共 \(\varphi(8)=4\) 个；而 \(x^2\) 的阶为 \(4\)，只能生成一个真子群。