抽象代数 · 2026.06.16

有限群、元素的阶与循环群

有限群把抽象的群结构限制在有限集合中。这个限制带来一个重要后果：群中每个元素不断自乘，最终一定会回到单位元。

有限群与元素的阶

设 \((G,\cdot)\) 是一个群。若底层集合 \(G\) 是有限集，则称 \((G,\cdot)\) 是有限群。

对任意 \(x\in G\)，定义 \(x\) 在 \(G\) 中的阶，记作 \(|x|\)，为最小的正整数 \(n\)，使得

\[ x^n=e. \]

如果不存在这样的正整数，就记 \(|x|=\infty\)。这里 \(e\) 是群的单位元。

命题：若 \((G,\cdot)\) 是有限群，则每个元素的阶都是有限的。

证明可以从反面理解。假设存在 \(x\in G\)，使得 \(|x|=\infty\)。于是

\[ x,x^2,x^3,\ldots \]

都属于 \(G\)。如果其中存在两个幂相等，设 \(m>n\) 且 \(x^m=x^n\)，则两边右乘 \(x^{-n}\)，得到

\[ x^{m-n}=e. \]

这说明 \(x\) 的阶其实是有限的，与 \(|x|=\infty\) 矛盾。因此这些幂两两不同，\(G\) 至少包含无穷多个元素，也与 \(G\) 有限矛盾。故有限群中每个元素的阶都有限。

直观地说，有限群里空间有限，而 \(x,x^2,x^3,\ldots\) 又一直在群里走；只要走回曾经到过的位置，就会产生一个正幂等于单位元。

固定 \(x\in G\)。定义映射

\[ f:(\mathbb{Z},+)\to(G,\cdot),\qquad f(n)=x^n. \]

这是一个群同态，因为

\[ f(m+n)=x^{m+n}=x^m\cdot x^n=f(m)\cdot f(n). \]

它的像是所有 \(x\) 的整数次幂构成的集合：

\[ \langle x\rangle=\{x^n:n\in\mathbb{Z}\}. \]

由于群同态的像是子群，所以 \(\langle x\rangle\) 是 \(G\) 的子群。这个子群称为由 \(x\) 生成的子群。

例如，在 \((\mathbb{Z},+)\) 中，由 \(3\) 生成的子群是

\[ \langle 3\rangle=\{3n:n\in\mathbb{Z}\}, \]

也就是所有 \(3\) 的整数倍。这里加法群中的“幂”对应反复相加。

更一般地，若 \(S\subset G\)，可以定义由 \(S\) 生成的子群为

\[ \langle S\rangle=\bigcap\{H\subset G:S\subset H,\ H<G\}. \]

这一定义的含义是：把所有包含 \(S\) 的子群取交集，得到的就是“必须包含 \(S\)”这个要求下最小的子群。

为什么它仍然是子群？因为任意包含 \(S\) 的子群都包含单位元，所以交集也包含单位元；若 \(x,y\) 在交集中，那么它们属于每一个这样的子群，于是 \(x\cdot y\) 和 \(x^{-1}\) 也属于每一个这样的子群，因而仍在交集中。

当 \(S=\{x\}\) 时，\(\langle S\rangle\) 与前面的 \(\langle x\rangle\) 相同。因此 \(\langle x\rangle\) 可以理解为包含 \(x\) 的最小子群。

若存在某个 \(x\in G\)，使得

\[ G=\langle x\rangle, \]

则称 \(G\) 是一个循环群，\(x\) 称为它的生成元。

循环群的核心思想是：整个群都可以由一个元素反复运算得到。有限循环群像一个闭合的环，元素依次为

\[ e,\ x,\ x^2,\ldots,x^{n-1}, \]

并在 \(x^n=e\) 时回到起点。无限循环群则与整数加法群 \((\mathbb{Z},+)\) 在结构上相同。

这种“由一个元素控制全局结构”的性质，使循环群成为理解一般群的基本模型。