抽象代数 · 2026.06.19

群的同构定理

群的同构定理回答同一个问题：当我们把群中的一部分元素“视为无差别”时，剩下的结构到底是什么？它们像拓扑中的压缩、截取与分层，把复杂群结构变成可以比较的形状。

为什么同构定理重要

在群论里，“同构”表示两个群虽然元素名字不同，但结构完全一样。同构定理的价值在于，它告诉我们许多看起来不同的商群，其实是在描述同一个结构。

可以把群想成一个带有对称性的空间。正规子群 \(N\) 像是一组“允许被压扁的方向”：在商群 \(G/N\) 中，所有落在同一个陪集里的元素都被看作同一个点。三大同构定理就是关于这种压缩操作的三条基本规则。

第一同构定理：同态就是先压扁核，再嵌入像

定理：令 \(f:G\to G'\) 是群同态，则 \(\ker(f)\lhd G\)，并且

\[ G/\ker(f)\cong \operatorname{im}(f). \]

特别地，如果 \(f\) 是满同态，则

\[ G/\ker(f)\cong G'. \]

如果 \(f\) 是单同态，则 \(\ker(f)=\{e\}\)，于是

\[ G/\{e\}\cong \operatorname{im}(f). \]

若 \(G\) 是有限群，则

\[ \frac{|G|}{|\ker(f)|}=|\operatorname{im}(f)|. \]

直观含义

同态 \(f\) 会把某些元素送到目标群的单位元，这些元素组成 \(\ker(f)\)。从 \(f\) 的视角看，核里的元素都“没有被看见”。所以 \(f\) 实际上先把 \(G\) 中相差一个核元素的点压成同一个点，然后把这些点一一对应到 \(\operatorname{im}(f)\)。

拓扑上可以想象成：一张带纹理的布 \(G\)，沿着核方向折叠或压扁，得到 \(G/\ker(f)\)；压扁后的形状正好就是 \(f\) 真正画出来的像。

证明

第一步，证明 \(\ker(f)\lhd G\)。我们已经知道核是子群。现在证明它正规。任取 \(a\in G\)、\(n\in\ker(f)\)，则

\[ f(ana^{-1})=f(a)f(n)f(a)^{-1}=f(a)e'f(a)^{-1}=e'. \]

所以 \(ana^{-1}\in\ker(f)\)。由共轭判别，\(\ker(f)\lhd G\)。

第二步，定义映射

\[ \varphi:G/\ker(f)\to \operatorname{im}(f),\qquad \varphi(a\ker(f))=f(a). \]

记 \(N=\ker(f)\)。先证明 \(\varphi\) 良定义。若 \(aN=bN\)，则 \(b^{-1}a\in N\)，于是

\[ e'=f(b^{-1}a)=f(b)^{-1}f(a). \]

两边左乘 \(f(b)\)，得到 \(f(a)=f(b)\)。因此不同代表元不会改变 \(\varphi\) 的值。

第三步，证明 \(\varphi\) 是群同态。对任意 \(aN,bN\in G/N\)，有

\[ \varphi((aN)(bN))=\varphi(abN)=f(ab)=f(a)f(b)=\varphi(aN)\varphi(bN). \]

第四步，证明 \(\varphi\) 是单射。若 \(\varphi(aN)=e'\)，则 \(f(a)=e'\)，所以 \(a\in N\)，从而 \(aN=N\)。这说明 \(\ker(\varphi)=\{N\}\)，因此 \(\varphi\) 单射。

第五步，证明 \(\varphi\) 是满射。任取 \(y\in\operatorname{im}(f)\)，存在 \(a\in G\)，使 \(y=f(a)\)。于是 \(y=\varphi(aN)\)。因此 \(\varphi\) 满射。

综上，\(\varphi\) 是双射群同态，所以

\[ G/\ker(f)\cong \operatorname{im}(f). \]

若 \(G\) 有限，则由拉格朗日定理 \(|G/\ker(f)|=|G|/|\ker(f)|\)，又因为 \(G/\ker(f)\cong \operatorname{im}(f)\)，得到

\[ \frac{|G|}{|\ker(f)|}=|\operatorname{im}(f)|. \]

例子：行列式

考虑行列式同态

\[ \det:\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\to \mathbb{R}^{\times}. \]

它的核是

\[ \ker(\det)=\mathrm{SL}_n(\mathbb{R}), \]

即行列式为 \(1\) 的可逆矩阵。行列式映射是满的，所以第一同构定理给出

\[ \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})/\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})\cong \mathbb{R}^{\times}. \]

这句话的直观含义是：如果把所有行列式为 \(1\) 的“体积保持变换”都压成单位，那么 \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\) 剩下能被检测到的信息，就是行列式这个非零实数。

例子：互素阶循环群之间的同态

设有群同态 \(f:C_{12}\to C_{35}\)。因为 \(\operatorname{im}(f)\) 是 \(C_{35}\) 的子群，所以 \(|\operatorname{im}(f)|\mid 35\)。另一方面，由第一同构定理，\(|\operatorname{im}(f)|\mid 12\)。因此

\[ |\operatorname{im}(f)|\mid \gcd(12,35)=1. \]

所以 \(|\operatorname{im}(f)|=1\)，也就是 \(\operatorname{im}(f)=\{e'\}\)。因此任何从 \(C_{12}\) 到 \(C_{35}\) 的同态都是平凡同态。

第二同构定理：先取一块，再加上正规方向

定理：设 \(G\) 是群，\(N\lhd G\)，\(H<G\)。则 \(HN<G\)，\(H\cap N\lhd H\)，\(N\lhd HN\)，并且

\[ H/(H\cap N)\cong HN/N. \]

直观含义

把 \(N\) 想成一组“可忽略的方向”。当我们只看子群 \(H\) 时，\(H\) 中真正会被 \(N\) 忽略掉的部分是 \(H\cap N\)。所以 \(H/(H\cap N)\) 是“\(H\) 在忽略 \(N\) 之后剩下的信息”。

另一方面，\(HN\) 是把 \(H\) 沿着 \(N\) 的方向扩展开得到的集合。再把其中的 \(N\) 整体压掉，得到 \(HN/N\)。定理说这两种做法得到同一个结构。

证明

第一步，证明 \(HN<G\)。显然 \(HN\subset G\)，且 \(e=ee\in HN\)。任取 \(h_1n_1,h_2n_2\in HN\)，其中 \(h_1,h_2\in H\)、\(n_1,n_2\in N\)。考虑

\[ (h_1n_1)(h_2n_2)^{-1}=h_1n_1n_2^{-1}h_2^{-1}. \]

由于 \(N\lhd G\)，有 \(h_2(n_1n_2^{-1})h_2^{-1}\in N\)。于是

\[ h_1n_1n_2^{-1}h_2^{-1} =h_1h_2^{-1}\cdot h_2(n_1n_2^{-1})h_2^{-1}. \]

其中 \(h_1h_2^{-1}\in H\)，而 \(h_2(n_1n_2^{-1})h_2^{-1}\in N\)，所以这个元素属于 \(HN\)。由子群判别法，\(HN<G\)。

第二步，证明 \(H\cap N\lhd H\)。任取 \(h\in H\)、\(s\in H\cap N\)。因为 \(H\) 是子群，\(hsh^{-1}\in H\)。又因为 \(N\lhd G\)，\(hsh^{-1}\in N\)。因此 \(hsh^{-1}\in H\cap N\)。由共轭判别，\(H\cap N\lhd H\)。

第三步，证明 \(N\lhd HN\)。任取 \(hn\in HN\) 与 \(n_1\in N\)，有

\[ (hn)n_1(hn)^{-1}=h(nn_1n^{-1})h^{-1}. \]

因为 \(N\) 是子群，\(nn_1n^{-1}\in N\)。又因为 \(N\lhd G\)，对 \(h\in H\subset G\)，有

\[ h(nn_1n^{-1})h^{-1}\in N. \]

所以 \(N\lhd HN\)。

第四步，构造同构。定义

\[ \psi:H\to HN/N,\qquad \psi(h)=hN. \]

这是群同态，因为

\[ \psi(h_1h_2)=h_1h_2N=(h_1N)(h_2N)=\psi(h_1)\psi(h_2). \]

它是满射：任取 \(HN/N\) 中的元素 \((hn)N\)，由于 \(n\in N\)，有

\[ (hn)N=hN. \]

所以 \((hn)N=\psi(h)\)。

它的核为

\[ \ker(\psi)=\{h\in H:hN=N\}. \]

由陪集判别 \(hN=N\iff h\in N\)，得到

\[ \ker(\psi)=H\cap N. \]

由第一同构定理，

\[ H/(H\cap N)\cong HN/N. \]

第三同构定理：分两次压缩等于一次压缩

定理：设 \(M\lhd G\)、\(N\lhd G\)，且 \(M<N\)。则 \(N/M\lhd G/M\)，并且

\[ (G/M)/(N/M)\cong G/N. \]

证明

首先，\(G/M\) 是群，因为 \(M\lhd G\)。而

\[ N/M=\{nM:n\in N\} \]

是 \(G/M\) 的子群。确实，若 \(n_1M,n_2M\in N/M\)，则

\[ (n_1M)(n_2M)^{-1}=n_1n_2^{-1}M\in N/M, \]

因为 \(N\) 是子群。

接着证明 \(N/M\lhd G/M\)。任取 \(gM\in G/M\)、\(nM\in N/M\)，有

\[ (gM)(nM)(gM)^{-1}=gng^{-1}M. \]

因为 \(N\lhd G\)，所以 \(gng^{-1}\in N\)，于是 \(gng^{-1}M\in N/M\)。因此 \(N/M\lhd G/M\)。

现在构造同态

\[ \theta:G/M\to G/N,\qquad \theta(gM)=gN. \]

先证明良定义。若 \(gM=g'M\)，则 \(g'^{-1}g\in M\)。因为 \(M<N\)，所以 \(g'^{-1}g\in N\)，从而 \(gN=g'N\)。因此 \(\theta\) 良定义。

再证明它是群同态：

\[ \theta((gM)(hM))=\theta(ghM)=ghN=(gN)(hN)=\theta(gM)\theta(hM). \]

它是满射：任取 \(gN\in G/N\)，有 \(gN=\theta(gM)\)。

计算核：

\[ \ker(\theta)=\{gM\in G/M:gN=N\}. \]

由 \(gN=N\iff g\in N\)，可得

\[ \ker(\theta)=\{gM:g\in N\}=N/M. \]

由第一同构定理，

\[ (G/M)/(N/M)\cong G/N. \]

三条定理放在一起看

第一同构定理说：一个同态的像，就是把定义域按核压缩后的结果。

第二同构定理说：当一个子群 \(H\) 遇到一个正规子群 \(N\) 时，\(H\) 中真正被压掉的部分是 \(H\cap N\)，结果等同于在 \(HN\) 中压掉 \(N\)。

第三同构定理说：如果 \(M\subset N\)，那么“先除 \(M\)，再除 \(N/M\)”与“直接除 \(N\)”没有区别。

这三条定理的共同主题是：商群不是随意丢信息，而是在严格记录“哪些元素被识别为同一个”的同时，保留剩下的群结构。