抽象代数 · 2026.06.27
轨道-稳定化子定理
轨道-稳定化子定理把“一个点能被群带到多少地方”和“有多少群元素固定这个点”精确地乘在一起。它是群作用中最常用、也最有直觉的一条计数定理。
从地球自转看轨道与稳定化子
先看一个几何图像。把地球看成球面 \(S^2\)，让绕地轴的旋转群 \(SO(2)\) 作用在球面上。每个旋转角 \(\theta\) 都把球面上的点转到另一个点。
如果点 \(p\) 不在南北极，那么它在旋转作用下会沿着一条纬度线运动；这条纬度线就是 \(p\) 的轨道。能够固定 \(p\) 的旋转只有恒等旋转，所以 \(p\) 的稳定化子很小。若 \(p\) 是北极或南极，那么任意绕地轴旋转都不改变它，所以极点的轨道只有一个点，但稳定化子是整个 \(SO(2)\)。
定义
令 \(\phi:(G,\cdot)\to(\operatorname{Perm}(S),\circ)\) 是 \(G\) 在集合 \(S\) 上的群作用。为了书写简洁，记
\[ x\cdot s=\phi(x)(s). \]
若 \(s\in S\)，定义 \(s\) 的轨道为
\[ \operatorname{Orb}(s)=\{s'\in S:\exists x\in G,\ s'=x\cdot s\} =\{x\cdot s:x\in G\}. \]
定义 \(s\) 的稳定化子，也常简称稳定子，为
\[ \operatorname{Stab}(s)=G_s=\{x\in G:x\cdot s=s\}. \]
轨道是集合 \(S\) 中的一块区域，稳定化子是群 \(G\) 中的一个子集。一个在 \(S\) 里，一个在 \(G\) 里，这是初学时最容易混淆的地方。
轨道要么相等，要么不相交
命题：设 \(G\) 作用在 \(S\) 上，\(s,s'\in S\)。则 \(\operatorname{Orb}(s)\) 和 \(\operatorname{Orb}(s')\) 要么相等，要么无交。因此，\(S\) 可以写成轨道的无交并。
证明：若两个轨道有交集，取
\[ t\in \operatorname{Orb}(s)\cap\operatorname{Orb}(s'). \]
则存在 \(x,y\in G\)，使
\[ t=x\cdot s=y\cdot s'. \]
先证 \(\operatorname{Orb}(s)\subset \operatorname{Orb}(s')\)。任取 \(o\in\operatorname{Orb}(s)\)，存在 \(z\in G\)，使 \(o=z\cdot s\)。由 \(x\cdot s=y\cdot s'\)，两边作用 \(x^{-1}\)，得到
\[ s=(x^{-1}y)\cdot s'. \]
于是
\[ o=z\cdot s=z\cdot((x^{-1}y)\cdot s')=(zx^{-1}y)\cdot s'. \]
因为 \(zx^{-1}y\in G\)，所以 \(o\in\operatorname{Orb}(s')\)。因此 \(\operatorname{Orb}(s)\subset \operatorname{Orb}(s')\)。
同理交换 \(s\) 和 \(s'\)，得到 \(\operatorname{Orb}(s')\subset \operatorname{Orb}(s)\)。所以两个轨道相等。
因此，如果两个轨道不是相等的，就不可能有交点。又因为每个 \(s\in S\) 都属于自己的轨道 \(\operatorname{Orb}(s)\)，所以所有轨道构成 \(S\) 的无交分解。
稳定化子是子群
命题：对任意 \(s\in S\)，有
\[ \operatorname{Stab}(s)<G. \]
证明：使用子群判别法。首先，群作用满足 \(e\cdot s=s\)，所以
\[ e\in\operatorname{Stab}(s). \]
其次，若 \(x\in\operatorname{Stab}(s)\)，则 \(x\cdot s=s\)。两边作用 \(x^{-1}\)，得到
\[ x^{-1}\cdot(x\cdot s)=x^{-1}\cdot s. \]
左边等于 \((x^{-1}x)\cdot s=e\cdot s=s\)，所以
\[ x^{-1}\cdot s=s. \]
因此 \(x^{-1}\in\operatorname{Stab}(s)\)。
最后，若 \(x,y\in\operatorname{Stab}(s)\)，则 \(y^{-1}\in\operatorname{Stab}(s)\)，所以 \(y^{-1}\cdot s=s\)。于是
\[ (xy^{-1})\cdot s=x\cdot(y^{-1}\cdot s)=x\cdot s=s. \]
所以 \(xy^{-1}\in\operatorname{Stab}(s)\)。由子群判别法，\(\operatorname{Stab}(s)<G\)。
注意：稳定化子一般不是正规子群。例如 \(S_3\) 自然作用在集合 \(\{1,2,3\}\) 上。点 \(1\) 的稳定化子是
\[ \operatorname{Stab}(1)=\{e,(23)\}. \]
但
\[ (12)(23)(12)^{-1}=(13)\notin \{e,(23)\}. \]
所以 \(\operatorname{Stab}(1)\) 不是 \(S_3\) 的正规子群。这也提醒我们：轨道-稳定化子定理里的 \(G/\operatorname{Stab}(s)\) 通常只是左陪集集合，不一定是商群。
关键引理
引理：设 \(G\) 作用在 \(S\) 上，\(s\in S\)，\(x,y\in G\)。则
\[ x\cdot s=y\cdot s \iff x^{-1}y\in\operatorname{Stab}(s). \]
证明：先证左推右。若 \(x\cdot s=y\cdot s\)，两边作用 \(x^{-1}\)，得到
\[ x^{-1}\cdot(x\cdot s)=x^{-1}\cdot(y\cdot s). \]
左边是 \(s\)，右边是 \((x^{-1}y)\cdot s\)，所以
\[ (x^{-1}y)\cdot s=s. \]
因此 \(x^{-1}y\in\operatorname{Stab}(s)\)。
再证右推左。若 \(x^{-1}y\in\operatorname{Stab}(s)\)，则
\[ (x^{-1}y)\cdot s=s. \]
两边作用 \(x\)，得到
\[ x\cdot((x^{-1}y)\cdot s)=x\cdot s. \]
左边等于 \((xx^{-1}y)\cdot s=y\cdot s\)，所以 \(y\cdot s=x\cdot s\)。引理成立。
轨道-稳定化子定理
定理：设 \(G\) 作用在 \(S\) 上，\(s\in S\)。则左陪集集合 \(G/\operatorname{Stab}(s)\) 与轨道 \(\operatorname{Orb}(s)\) 之间存在自然双射。特别地，若 \(G\) 有限，则
\[ |G|=|\operatorname{Stab}(s)|\cdot|\operatorname{Orb}(s)|. \]
等价地，
\[ |\operatorname{Orb}(s)|=[G:\operatorname{Stab}(s)]. \]
证明：定义映射
\[ F:G/\operatorname{Stab}(s)\to\operatorname{Orb}(s), \qquad F(x\operatorname{Stab}(s))=x\cdot s. \]
第一步，证明 \(F\) 良定义。若
\[ x\operatorname{Stab}(s)=y\operatorname{Stab}(s), \]
则左陪集相等判别给出
\[ x^{-1}y\in\operatorname{Stab}(s). \]
由关键引理，\(x\cdot s=y\cdot s\)。因此同一个陪集的不同代表元给出同一个轨道点，映射良定义。
第二步，证明 \(F\) 满射。任取 \(o\in\operatorname{Orb}(s)\)，由轨道定义，存在 \(x\in G\)，使
\[ o=x\cdot s=F(x\operatorname{Stab}(s)). \]
所以 \(F\) 满射。
第三步，证明 \(F\) 单射。若
\[ F(x\operatorname{Stab}(s))=F(y\operatorname{Stab}(s)), \]
即 \(x\cdot s=y\cdot s\)，由关键引理，
\[ x^{-1}y\in\operatorname{Stab}(s). \]
于是 \(x\operatorname{Stab}(s)=y\operatorname{Stab}(s)\)。因此 \(F\) 单射。
综上，\(F\) 是双射。若 \(G\) 有限，则左陪集个数为指数 \([G:\operatorname{Stab}(s)]\)，由拉格朗日定理，
\[ [G:\operatorname{Stab}(s)] = \frac{|G|}{|\operatorname{Stab}(s)|}. \]
又因为 \(\operatorname{Orb}(s)\) 与左陪集集合双射，所以
\[ |\operatorname{Orb}(s)| = \frac{|G|}{|\operatorname{Stab}(s)|}, \]
即
\[ |G|=|\operatorname{Stab}(s)|\cdot|\operatorname{Orb}(s)|. \]
应用一：正多边形的顶点对称
令 \(D_n\) 是正 \(n\) 边形的二面体群，\(|D_n|=2n\)。让 \(D_n\) 作用在顶点集合 \(V\) 上。任取一个顶点 \(v\)，它的轨道是所有顶点，因为旋转就能把 \(v\) 送到任意顶点，所以
\[ |\operatorname{Orb}(v)|=n. \]
由轨道-稳定化子定理，
\[ |\operatorname{Stab}(v)|=\frac{|D_n|}{|\operatorname{Orb}(v)|} =\frac{2n}{n}=2. \]
几何上，这两个元素是恒等变换和经过顶点 \(v\) 的那条对称轴反射。这个例子说明：如果轨道很大，稳定化子就小；点越“容易被移走”，固定它的对称性越少。
应用二：共轭类与类方程
令有限群 \(G\) 通过共轭作用作用在自身上：
\[ x\cdot a=xax^{-1}. \]
此时 \(a\) 的轨道是共轭类
\[ \operatorname{Cl}(a)=\{xax^{-1}:x\in G\}, \]
而 \(a\) 的稳定化子是中心化子
\[ C_G(a)=\{x\in G:xa=ax\}. \]
证明稳定化子等于中心化子：\(x\in\operatorname{Stab}(a)\) 当且仅当
\[ xax^{-1}=a. \]
右乘 \(x\)，得到 \(xa=ax\)。反过来若 \(xa=ax\)，右乘 \(x^{-1}\)，得到 \(xax^{-1}=a\)。
所以轨道-稳定化子定理给出
\[ |\operatorname{Cl}(a)|=[G:C_G(a)]. \]
把 \(G\) 按共轭类分解，就得到类方程
\[ |G|=|Z(G)|+\sum_i [G:C_G(a_i)], \]
其中 \(a_i\) 从非中心共轭类中各取一个代表。类方程常用于证明有限 \(p\)-群中心非平凡，也用于分析小阶非阿贝尔群。
应用三：陪集作用与指数
设 \(H<G\)，让 \(G\) 作用在左陪集集合 \(G/H\) 上：
\[ g\cdot(xH)=(gx)H. \]
这是良定义的，因为若 \(xH=yH\)，则 \(y^{-1}x\in H\)，从而
\[ (gy)^{-1}(gx)=y^{-1}x\in H, \]
所以 \((gx)H=(gy)H\)。
点 \(H\in G/H\) 的稳定化子是 \(H\) 本身。因为
\[ g\cdot H=gH=H \iff g\in H. \]
它的轨道是整个 \(G/H\)，因为任意陪集 \(xH\) 都等于 \(x\cdot H\)。轨道-稳定化子定理于是给出
\[ |G/H|=[G:H], \]
并且在有限情形下回到拉格朗日定理的形式
\[ |G|=|H|\,[G:H]. \]
这说明轨道-稳定化子定理并不是孤立公式，而是把陪集、指数、拉格朗日定理都纳入群作用语言中。
应用四：计数问题中的“除以对称性”
在组合计数里，我们常常想把由对称变换得到的对象视为同一种。例如项链旋转、正方形染色、图形翻转，背后都是某个群作用在方案集合上。
轨道就是“本质不同的方案”，稳定化子就是“保持某个方案不变的对称性”。轨道-稳定化子定理告诉我们：如果某个方案拥有更多内部对称性，那么它所在的轨道就更小；如果一个方案几乎没有对称性，那么它的轨道就更大。
这正是 Burnside 引理和 Polya 计数的基础直觉。它们进一步把所有轨道的数量写成固定点数量的平均值，但最底层的结构仍然是轨道与稳定化子之间的互补关系。
小结
轨道-稳定化子定理的核心可以压缩成一句话：
\[ \text{群的大小}=\text{固定点的对称性大小}\times\text{点能到达的位置数量}. \]
它告诉我们，群作用不是单纯的“元素移动点”，而是一种把几何直觉、陪集结构和计数公式连接起来的语言。学会它之后，共轭类、类方程、对称图形、染色计数、陪集作用都会变得像同一件事的不同侧面。